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渋谷で働くSEのブログ

渋谷で働くSEのお粗末なブログです

中南米音楽の形を見てみたい(1)音楽のカタチって何?

音楽に、形なんてあるの???
実は…意外と昔から音楽を幾何学的にとらえようとする研究があったようです。

音楽の要素といえば、

  • メロディ
  • ハーモニー
  • リズム

ですね。

これらは、次のようなものですね。

  • メロディ : 時間によって変わっていく音たちの集まり
  • ハーモニー : 同じ時間に同時になっている音たち
  • リズム : 時間の刻み方


これらを「図」として考えていくために、数学者たちは次のようなところに注目しました。

  • 音階は、周波数が2倍になると「元」に戻ってくる
  • リズムは、1小節分が繰り返される

「戻ってくる」

これを図で表すと、円で表せるんですね。
そして、円と\mathbb{R}/\mathbb{Z}は同相です。

ここで、\mathbb{R}/\mathbb{Z}は、小数部分が同じだったら同じものとしてみなすようなものです。
例えば、1.5も2.5も0.5も同じということ。

f:id:kyosuu1:20161119231639p:plain

\mathbb{R}/\mathbb{Z}の元は、[0,\,1)のある元と小数部分が同じものたちを集めてきたものですので、実際計算をするときは[0,\,1)上で計算してしまいます。

じゃあ、音符をどう[0,\,1)上にのせるかというとですね…

  • リスムの場合は、1小節を1とし、音符の位置を割合で表す。

例えば、
f:id:kyosuu1:20160903072433p:plain
の場合だと、\{0, \tfrac{1}{4}, \tfrac{1}{2}, \tfrac{5}{8}, \tfrac{3}{4}\}となります。

  • 音階は、周波数の \log _2をとってから、小数部分をとります。

なぜなら、音階というのは、オクターブ上が2倍で、その間は均等に上がるように(つまり 2^{\frac{1}{12}}倍ずつあがるように)したものだからです。
数学記号で書くと、 \log _2 f\mod 1 (ただし、 fは音階の周波数)となります。

f:id:kyosuu1:20161119231743p:plain

こうしておくことによって、「音符」を、円周上の点としてみなせるようになりました→つまり [0,\,1)上の点として扱えるようになりました

最初は距離についても少し触れようと思いましたが、やっぱりちゃんと話したいんで次回にします^^